题目

给定锐角三角形PBC，．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O. 过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N． （1）若A，B，C，D四点共圆，求证：； （2）若 ，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论． 答案：见解析 解析:（1）设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，则 ， 又OQMR是平行四边形， 所以， 由题设A，B，C，D四点共圆， 所以，         于是， 所以， 故 ， 所以  EM＝FM，         同理可得  EN＝FN， 所以  ． （2）答案是否定的． 当AD∥BC时，由于，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有，证明如下： 如图2所示，设S，Q分别是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，则 ， 所以   ．                                  ① 又， 所以．                          ② 而AD∥BC，所以，                          ③ 由①，②，③得  ． 因为  ，       ， 即， 所以～，         故  （由②）． 同理可得， ， 所以  ， 从而  ．

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