题目

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点． （Ⅰ）求证：AM∥平面PCD； （Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB； （Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长． 答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I）取PC的中点N，连接MN，CN，则可证四边形ADNM是平行四边形，于是AM∥DN，从而有AM∥平面PCD； （II）利用勾股定理及余弦定理计算AC，AB可得出AC2+AB2=BC2，于是AC⊥AB，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥AC，于是AC⊥平面PAB，从而得出平面MAC⊥平面PAB； （III）以A为原点建立空间坐标系，设P（0，0，a），求出和平面ACM的法向量，令|cos＜＞|=sin30°解出a，得出|PA|． 【解答】证明：（I）取PC的中点N，连接MN，DN． ∵M，N是PB，PC的中点， ∴MNBC，又ADBC， ∴MNAD， ∴四边形ADNM是平行四边形， ∴AM∥DN，又AM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， ∴AM∥平面PCD． （II）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PA⊥AC． ∵AD=CD=1，AD⊥CD，AD∥BC， ∴AC=，∠DCA=∠BCA=45°， 又BC=2，∴AB==． ∴AC2+AB2=BC2，∴AC⊥AB． 又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A， ∴AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ACM， ∴平面ACM⊥平面PAB． （III）取BC的中点E，连接AE，则AE⊥AD． 以A为原点，以AD，AE，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则A（0，0，0），C（1，1，0），设P（0，0，a），则M（﹣，，）（a＞0）． ∴=（1，1，0），=（﹣，，），=（1，1，﹣a）． 设平面ACM的法向量为=（x，y，z），则． ∴．令x=1得=（1，﹣1，）． ∴cos＜＞==． ∵PC与平面ACM所成角为30°， ∴=．解得a=． ∴|PA|=． 　

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