题目

已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，b∈R)． (1)若f(x)为偶函数，求b的值； (2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件． 答案：解：(1)∵f(x)为偶函数， ∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)． 即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0. (2)记h(x)＝|x＋b|＝ ①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， ∴－b≤2，b≥－2. ②当0<a<1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数． ∴f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.

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