题目

已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0． (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值； (3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程． 答案：解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5． (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝．因为OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0．因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝． (3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半径r＝|OC|＝，所以所求圆的方程为＝．

查看本题答案和解析