题目

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.  （1）求证AE⊥平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离. 答案：解法一：(1)∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE. ∵二面角D-AB-E为直二面角、且CB⊥AB,∴CB⊥平面ABE.∴CB⊥AE.∴AE⊥平面BCE.(2)连结BD交AC于G,连结FG,∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=.∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角.由(1)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中、BE=.又∵直角三角形BCE中,EC=∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=∴二面角B-AC-E等于arcsin(3)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h,∵VD—ACE=VE—ACD,∴S△ACE·h=S△ACD·EO.∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴∴点D到平面ACE的距离为解法二：(1)同解法一.(2)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴、建立空间直角坐标系O-xyz,如图.∵AE⊥平面BCE、BE面BCE,∴AE⊥BE.在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点.∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),=(1,1,0),=(0,2,2).设平面AEC的一个法向量n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为m=(1、0、0),∴cos〈m、n〉=∴二面角B-AC-E的大小为arccos.(3)∵AD∥z轴,AD=2,∴=(0,0,2),∴点D到平面ACE的距离d=||·|cos〈,n〉|=

查看本题答案和解析