题目

如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B的坐标； （2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC．求点P的坐标． 答案：（1）（1，0）（2）（4，21）或（﹣4，5） 【解析】 【分析】 （1）由抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标； （2）a＝1时，先由对称轴为直线x＝﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC＝4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标． 【详解】 （1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， ∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称， ∵点A的坐标为（﹣3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）； （2）∵a＝1时，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1， ∴＝﹣1，解得b＝2． 将B（1，0）代入y＝x2+2x+c， 得1+2+c＝0，解得c＝﹣3． 则二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3． 设P点坐标为（x，x2+2x﹣3）， ∵S△POC＝4S△BOC， ∴×3×|x|＝4××3×1， ∴|x|＝4，x＝±4． 当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21； 当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5． ∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）． 【点睛】 此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积．此题难度适中，解题的关键是求出点C的坐标．

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