题目

设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0. (1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率； (2)求函数f(x)的单调区间． 答案：解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1. 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1. (2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1. 令f′(x)＝0，解得x＝1－m，或x＝1＋m. 因为m>0，所以1＋m>1－m. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1－m) 1－m (1－m，1＋m) 1＋m (1＋m，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值 极大值 所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数．

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