题目

（本小题满分14分）如图5，是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．（1）设，将用、、表示； （2）设，，证明：是定值； （3）记△与△的面积分别为、．求的取值范围． 答案：(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ） 解析:：（1） ．…2分 （2）一方面，由（1），得；① 另一方面，∵是△的重心， ∴    ②…4分 而、不共线，∴由①、②，得…6分 解之，得，∴（定值）． …………………8分 （3）．……………………10分 由点、的定义知，， 且时，；时，．此时，均有．   时，．此时，均有． 以下证明：． （法一）由（2）知， ∵，∴．…………………………12分 ∵，∴． ∴的取值范围．………………………………14分 （法二）， 令，则，其中． 利用导数，容易得到，关于的函数在闭区间上单调递减，在闭区间上单调递增．………………………………12分 ∴时，． 而或时，均有． ∴的取值范围．…………………………14分 注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值．

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