题目

已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。 （I）求证：平面； （II）求到平面的距离； （III）求二面角的大小。 2,4,6     答案：解：（I）因为平面， 所以平面平面， 又，所以平面， 得，又 所以平面； （II）因为，所以四边形为  菱形， 故，又为中点，知。 取中点，则平面，从而面面，        过作于，则面，        在中，，故，        即到平面的距离为。        （III）过作于，连，则，        从而为二面角的平面角，        在中，，所以， 在中，，        故二面角的大小为。        解法2：（I）如图，取的中点，则，因为，        所以，又平面，        以为轴建立空间坐标系，        则，，， ，， ，， ，由，知，        又，从而平面；        （II）由，得。        设平面的法向量为，，，所以 ，设，则        所以点到平面的距离。        （III）再设平面的法向量为，，，        所以 ，设，则，        故，根据法向量的方向，        可知二面角的大小为。

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