题目

定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数． （Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值； （Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点； （Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范围． 　 答案：【考点】函数的值． 【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值． （Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点． （Ⅲ）当x∈（kn，kn+1]时，，由此得到，当x∈（kn，kn+1]时，f（x）∈[0，kn），由此能求出f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，kn）． 【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，， ∴． ∵函数f（x）为二阶伸缩函数， ∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）． ∴． （Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，． 由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）． ∵x∈（1，3]时，． ∴． 令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内． ∴函数在（1，+∞）上无零点． （Ⅲ） 由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x）， 且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）． ∴当x∈（kn，kn+1]时，． ∵，所以． ∴当x∈（kn，kn+1]时，f（x）∈[0，kn）． 当x∈（0，1]时，即0＜x≤1， 则∃k（k≥2，k∈N*）使， ∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）． 又，∴，即． ∵k≥2， ∴f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，kn）． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

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