题目

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝a. (1)求证：AD⊥B1D； (2)求证：A1C∥平面AB1D； (3)求三棱锥C－AB1D的体积． 答案：[解析]　(1)证明：∵ABC－A1B1C1是正三棱柱， ∴BB1⊥平面ABC， ∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥BB1. 又∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC. 又∵BC∩BB1＝B， ∴AD⊥平面B1BCC1. 又∵B1D⊂平面B1BCC1， ∴AD⊥B1D. (2)证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE. ∵AA1＝AB，∴四边形A1ABB1是正方形， ∴E是A1B的中点， 又∵D是BC的中点， ∴DE∥A1C. ∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. (3)解：VC－AB1D＝VB1－ADC＝S△ADC·|BB1|＝a3.

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