题目

如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN.(1)证明AC⊥NB;(2)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值. 答案：解：如图建立空间直角坐标系M—xyz，令MN=1，则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）.(1)证明：∵MN是l1、l2的公垂线.l2⊥l1,∴l2⊥平面ABN.∴l2平行于z轴故可设C(0,1,m)　　于是=(1,1,m),=(1,-1,0),∵·=1+（-1）+0=0，∴AC⊥NB.(2)解：∵=(1,1,m), =(-1,1,m).∴||=||,又已知∠ACD=60°,∴△ABC为正三角形，AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中，NB=，可得NC=，故C（0，1，）.连结MC，作NH⊥MC于H，设Ｈ（0，λ, λ）(λ＞0).∴=(0,1-λ,- λ),=(0,1, ),∵·=1-λ-2λ=0,∴λ=.∴H(0,,),可得HN=（0，，-），连结BH，则BH=（-1，，）.∵·=0+-=0，∴⊥.又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC，∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=（-1，1，0），∴cos∠NBH===.

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