题目

如图，菱形ABCD中，∠A=60°，连接BD，∠PBQ=60°，将∠PBQ绕点B任意旋转，交边AD，CD分别于点E、F（不与菱形的顶点重合），设菱形ABCD的边长为a（a为常数） （1）△ABD和△CBD都是 　三角形； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）在运动过程中，四边形BEDF的面积是否变化，若不变，求出其面积的值（用a表示）；若变化，请说明理由． （4）若a=3，设△DEF的周长为m，直接写出m的取值范围． 答案：【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°由等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，△ABD和△CBD都是等边三角形，于是得到∠EDB=∠DBC=∠C=60°，BD=BC证得∠EBD=∠CBF，根据全等三角形的性质得到BE=BF，即可的结论； （3）由△ABD是等边三角形，AB=a，得到AB边上的高=a，根据三角形的面积公式得到S△ABD=a2，等量代换即可得到结论； （4）根据全等三角形的性质得到DE=CF，于是得到DF+DE=DF+CF=3，根据等边三角形的性质得到BF=EF，得到△DEF的周长＜6，当BF⊥CD时，求得BF=，得到△DEF的周长=3+，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60° ∴△ABD和△CBD都是等边三角形； 故答案为：等边； （2）△BEF是等边三角形， 理由：由（1）知，△ABD和△CBD都是等边三角形， ∴∠EDB=∠DBC=∠C=60°，BD=BC ∵∠EBF=60°， ∴∠EBD=∠CBF， 在△BDE与△BCF中，， ∴△BDE≌△BCF， ∴BE=BF， ∴△BEF是等边三角形； （3）不变， 理由：∵△ABD是等边三角形，AB=a， ∴AB边上的高=a， ∴S△ABD=a2， ∵△BDE≌△BCF， ∴S四边形BFDE=S△ABD=a2， ∴在运动过程中，四边形BEDF的面积不变化； （4）∵△BDE≌△BCF， ∴DE=CF， ∴DF+DE=DF+CF=3， ∵△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵BF＜3， ∴△DEF的周长＜6， 当BF⊥CD时，BF=， ∴△DEF的周长=3+， ∴m的取值范围是3+≤m＜6． 　

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