题目

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，点P为椭圆短轴的端点，且△PF1F2的面积为2． (1)求椭圆的方程； (2)点Q是椭圆上任意一点，A(4，6)，求|QA|－|QF1|的最小值； (3)点B是椭圆上的一定点，B1，B2是椭圆上的两动点，且直线BB1，BB2关于直线x＝1对称，试证明直线B1B2的斜率为定值． 答案：解：(1)由题意可知c＝， S△PF1F2＝|F1F2|×b＝2， 所以b＝2，求得a＝3， 故椭圆的方程为＋＝1． (2)由(1)得|QF1|＋|QF2|＝6，F1(－，0)，F2(，0)． 那么|QA|－|QF1|＝|QA|－(6－|QF2|)＝|QA|＋|QF2|－6， 而|QA|＋|QF2|≥|AF2|＝＝9，所以|QA|－|QF1|的最小值为3． (3)设直线BB1的斜率为k，因为直线BB1与直线BB2关于直线x＝1对称，所以直线BB2的斜率为－k，所以直线BB1的方程为y－＝k(x－1)， 设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)， 由 故直线B1B2的斜率为定值．

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