题目

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．1.求证：△ABD∽△CED．2.若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．  答案： 1.证明：∵　△ABC是等边三角形，∴　∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°．∵　CE是外角平分线，　∴　∠ACE＝60°．∴　∠BAC＝∠ACE。又∵　∠ADB＝∠CDE，∴　△ABD∽△CED。2.解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6．              ∴　AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝．∵　AD＝2CD，∴　CD＝2，AD＝4，MD＝1。在Rt△BDM中，BD＝＝．由（1）△ABD∽△CED得，，，∴　ED＝，∴　BE＝BD＋ED＝。解析:（1）由于△ABC是等边三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一组对顶角，两组对应角相等，可判定所求的两个三角形相似；（2）由于△ABC是等边三角形，则AC=BC=6，由此可求出AC、CD的长；过B作BM⊥AC于M，根据等边三角形的性质知AM=MC，由此可求出MD、MB的长，进而可由勾股定理求出BD的长；根据（1）的相似三角形，可得出关于AD、CD，BD、DE的比例关系式，即可求出DE的长，从而由BE=BD+DE求出BE的长． 

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