题目

如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积． 答案：【解答】解：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∵∠BCD=∠BAC， ∴∠BCD=∠OCA， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90° ∴∠OCD=90° ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线 （2）设⊙O的半径为r， ∴AB=2r， ∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴OD=2r，∠COB=60° ∴r+2=2r， ∴r=2，∠AOC=120° ∴BC=2， ∴由勾股定理可知：AC=2 易求S△AOC=×2×1= S扇形OAC== ∴阴影部分面积为﹣ 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 　

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