题目

已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.求证：（1）AE=DB；（2）△CMN为等边三角形. 答案：证明略解析:证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，…………  2分∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．                  ………………  3分在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)．             …………  5分∴AE＝DB．                          ………………  6分(2)由(1)可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．              ………………  7分∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°，即∠DCN＝60°．                                  ∴∠ACM＝∠DCN．                     …………  8分在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN(ASA)．          ………………  10分∴CM＝CN．                  ………………  11分又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．                      ……………12分

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