题目

如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点． （1）求证：DE为⊙O切线； （2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD； （3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明． 答案：【分析】（1）如图1，连接OD、BD，根据圆周角定理得：∠ADB=90°，则AD⊥BD，OE⊥BD，由垂径定理得：BM=DM，证明△BOE≌△DOE，则∠ODE=∠OBE=90°，可得结论； （2）设AP=a，根据三角函数得：AD=3a，由勾股定理得：PD=2a，在直角△OPD中，根据勾股定理列方程可得：32=（3﹣a）2+（2a）2，解出a的值可得AD的值； （3）先证明△APF∽△ABE，得，由△ADP∽△OEB，得，可得PD=2PF，可得结论． 【解答】证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，AD⊥BD， ∵OE∥AD， ∴OE⊥BD， ∴BM=DM， ∵OB=OD， ∴∠BOM=∠DOM， ∵OE=OE， ∴△BOE≌△DOE（SAS）， ∴∠ODE=∠OBE=90°， ∴DE为⊙O切线； （2）设AP=a， ∵sin∠ADP==， ∴AD=3a， ∴PD===2a， ∵OP=3﹣a， ∴OD2=OP2+PD2， ∴32=（3﹣a）2+（2a）2， 9=9﹣6a+a2+8a2， a1=，a2=0（舍）， 当a=时，AD=3a=2， ∴AD=2； （3）PF=FD， 理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE， ∴△APF∽△ABE， ∴， ∴PF=， ∵OE∥AD， ∴∠BOE=∠PAD， ∵∠OBE=∠APD=90°， ∴△ADP∽△OEB， ∴， ∴PD=， ∵AB=2OB， ∴PD=2PF， ∴PF=FD． 【点评】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，难度适中，连接BD构造直角三角形是解题的关键． 　

查看本题答案和解析