题目

已知函数且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. 答案：【解析】 ⑴ 因为，，所以． 令，则，， 当时，，单调递减，但，时，； 当时，令，得． 当时，，单调减；当时，，单调增． 若，则在上单调减，； 若，则在上单调增，； 若，则，． 综上，． ⑵ ，，． 令，则，． 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以，． 因为，，，， 所以在和上，即各有一个零点． 设在和上的零点分别为，因为在上单调减， 所以当时，，单调增；当时，，单调减．因此，是的极大值点． 因为，在上单调增，所以当时，，单调减，时，单调增，因此是的极小值点． 所以，有唯一的极大值点． 由前面的证明可知，，则． 因为，所以，则 又，因为，所以． 因此，．

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