题目

平面内有向量=(1,7), =(5,1), =(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.(1)当·取最小值时,求的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB的值. 答案：解析:(1)设=(x,y),∵Q在直线上,∴向量与共线.又=(2,1),∴x-2y=0.∴x=2y.∴=(2y,y).又=-=(1-2y,7-y), =-=(5-2y,1-y),∴·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8.故当y=2时, ·有最小值-8,此时=(4,2).(2)由(1)知=(-3,5), =(1,-1),·=-8,| |=,||=,∴cos∠AOB==.点评:已知两向量的坐标,由平面向量数量积的定义和性质可以求其数量积、两向量的模和它们的夹角,此外求解数量积的有关综合问题,注意利用函数思想、方程思想求解.

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