题目

如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AB于点E． （1）求证：∠E=∠C； （2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求OE的长． 答案：【分析】（1）连接OB．先证明∠ABO、∠CBD均为直角，然后依据同角的余角相等证明∠ABD=∠CBO，接下来，结合等腰三角形的性质和平行线的性质进行证明即可； （2）连接OB，先求得AB的长，然后由平行线分线段成比例定理求得BE的长，最后再△BOE中依据勾股定理可求得OE的长． 【解答】解：（1）证明：如图1：连接OB． ∵CD为圆O的直径， ∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°． ∵AE是圆O的切线， ∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°． ∴∠ABD=∠CBO． ∵OB=OC， ∴∠C=∠CBO． ∴∠C=∠ABD． ∵OE∥BD， ∴∠E=∠ABD． ∴∠E=∠C． （2）如图2所示：连接OB． ∵圆O的半径为3，AD=2， ∴OA=5，OB=3． ∴AB==4． ∵BD∥OE， ∴，即． 解得：BE=6． ∵∠OBE=90°， ∴OE==3． 【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理的应用、等腰三角形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理的应用，求得BE的长是解答本题的关键． 　

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