题目

如图，是的直径，点C，点D在上，，与相交于点E，与相切于点A，与延长线相交于点F． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 答案：（1）见解析；（2） 【解析】 （1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据切线性质得到∠BAF=90°，由得出∠CAD=∠CDA，结合∠CDA=∠ABC，证明∠CAF=∠CAD，从而证明△ACF≌△ACE，即可得到结论； （2）根据EF求出CE，结合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE，再利用勾股定理算出AC，最后根据sin∠ABF=求出AB即可得到半径． 【详解】 解：（1）∵AB为圆O直径， ∴∠ACB=90°， ∵AF与圆O相切， ∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB， ∴∠CBA+∠CAB=90°， ∵， ∴AC=CD， ∴∠CAD=∠CDA， 又∵∠CDA=∠CBA， ∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°， ∴∠CAF=∠CAD，又AC=AC，∠ACF=∠ACE=90°， ∴△ACF≌△ACE（ASA）， ∴AE=AF； （2）∵∠ABF=∠ADC=∠CAD， ∴sin∠ABF=sin∠CAD==， ∵△ACF≌△ACE，EF=12， ∴CE=CF=6， ∴=，解得：AE=10， ∴AC==8， ∴sin∠ABF==， ∴AB=， ∴圆O的半径为． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正弦的定义，知识点较多，有一定难度，解题时要注意多个知识点相结合．

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