题目

已知△ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l: y=x+2上，且AB∥l.（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程. 答案：解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由得所以又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.            由得            因为A，B在椭圆上，            所以　　　  设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.            则　　　  所以　　　  又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即            所以　　　  所以当m=-1时，AC边最长.（这时△＝－12＋64＞0）              此时AB所在直线的方程为y=x-1.

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