题目

如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且()。 (Ⅰ) 求证:； (Ⅱ) 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为。   答案：解： (Ⅰ)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,     所以,,又,,平面, 所以平面,又平面,所以, 因为,所以。…………5分   (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,又平面平面, 平面平面, 平面,所以平面.…………6分 以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, …………7分     则,,,,   由可得点的坐标为, 所以,, 设平面的法向量为,则,即 解得,令,得,…………8分 显然平面的一个法向量为,…………9分 依题意,………… 10分 解得或(舍去), ………… 11分 所以,当时,二面角的余弦值为.………… 12分

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