题目

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点.(Ⅰ)求二面角O1-BC-D的大小；(Ⅱ)求点E到平面O1BC的距离． 答案：解法一:(Ⅰ)过AC、BD的交点O作OF⊥BC于F，连接O1F，∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角，∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=．在Rt△O1OF中，tan∠O1FO=，∴∠O1FO=60°即二面角O1—BC—D为60°  (Ⅱ)在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C，∴OE∥面O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F．过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，∴OH=.∴点E到面O1BC的距离等于．解法二：(Ⅰ)∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系(如图)∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=2，OB=2，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(-2，0，0)，O1(0，0，3)设平面O1BC的法向量为n1=(x,y,z),则n1⊥，n1⊥，∴，则z=2，则x=,y=3，∴n1=(，3，2)，而平面AC的法向量n2=(0，0，3)  ∴cos＜n1，n2＞=，设O1-BC-D的平面角为α，∴cosα=；∴α=60°．故二面角O1-BC-D为60°．(Ⅱ)设点E到平面O1BC的距离为d，∵E是O1A的中点，∴=(，0，)，则d=∴点E到面O1BC的距离等于

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