题目

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y＝－x＋b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．【小题1】若直线y＝－x＋b平分矩形OABC的面积，求b的值；【小题2】在（1）的条件下，当直线y＝－x＋b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；【小题3】在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上 答案：p;【答案】【小题1】∵直线y＝－x＋b平分矩形OABC的面积，∴其必过矩形的中心由题意得矩形的中心坐标为（6，3），∴3＝－×6＋b解得b＝12 4分【小题2】假设存在ON平分∠CNM的情况①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，∴OH＝OC＝6由（1）知OP＝12，∴∠OPM＝30°∴OM＝OP·tan30°＝当y＝0时，由－x＋12＝0解得x＝8，∴OD＝8∴DM＝8－ ···················· 6分②当直线PM与直线BC和x轴相交时同上可得DM＝8＋（或由OM＝MN解得） 8分【小题3】假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处连结PO′、OO′，则有PO′＝OP由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′＝OO′∴△OPO′为等边三角形，∴∠OPD＝30°而由（2）知∠OPD＞30°所以沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上 ··········· 9分设沿直线y＝－x＋a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处连结P′O′、OO′，则有P′O′＝OP′＝a由题意得：CP′＝a－6，∠OPD＝∠AO′O在Rt△OPD中，tan∠OPD＝在Rt△OAO′中，tan∠AO′O＝∴＝，即＝，AO′＝9在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：(a－6)2＋92＝a2解得a＝，12－＝所以将直线y＝－x＋12沿y轴向下平移个单位得直线y＝－x＋，将矩形OABC沿直线y＝－x＋折叠，点O恰好落在边BC上    12分解析:p;【解析】略

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