题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当ι=　7　时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式； ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．答案：考点：相似形综合题．分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得；（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值；（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t﹣3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．解答：解：（1）在直角△ABC中，AC==4，则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5．根据题意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7．（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒．则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1．当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=PC．△AQH∽△ABC，在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，则QH=AQ=． ∵PC=BC﹣BP=3﹣t， ∴×（2t﹣4）=3﹣t，解得：t=；（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t．同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：（14﹣2t），故s=（2t﹣9）×（14﹣2t）=（﹣t2+10t﹣2）．故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）． ∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上， ∴PD一定是AC的中垂线．则AP=AC=2，PD=BC=，则S△APD=AP•PD=×2×=． AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4．则PC边上的高是：AQ=×4=．则S△PCQ=PC•=×2×=．故答案是：7．点评：本题是相似三角形的性质，勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是关键．

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