题目

(08年绍兴一中三模理)  （15分）   定义：  ()    ⑴设函数，求函数的最小值；    ⑵解关于的不等式：    ⑶设，正项数列满足：，；求数列的通项公式，并求所有可能乘积（）的和。 答案：解析：本小题主要考查函数、数列、不等式等基础知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查分类讨论等数学思想方法． 解法一：(Ⅰ)f(n)= , ．．．．．．．．．．．．．．．2分因为2n2-(n+1)2=(n-1)2-2，当n≥3时，(n-1)2-2>0，所以当n≥3时f(n+1)>f(n)；当，n<3时，(n-1)2-2<O，所以当n<3时f(n+1)<f(n)．所以当n=3时f(n)取到最小值为f(3)=．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (Ⅱ)原不等式等价于不等式组即5分(i)当a>1时，2<a+1<2a，原不等式的解集是{x|a+1<x≤2a}．…………6分(ii)当a=l时，2a=a+1=2，原不等式的解集是空集．…………………7分(iii)当a<1时，2a<a+1<2，原不等式的解集为{x|a+1<x≤2}．…………8分综上，a>1时，原不等式的解集是(a+1，2a]；a=1时，原不等式的解集是；a<l时，原不等式的解集是(a+1，2]．………………………………………9分(Ⅲ)因为g(x)=2x,所以g(an+1)= ,又g(an+1)= = ,            所以an+1=3an.又a1=3, 所以数列{an}是首项a1=3，公比为3的等比数列，所以an=3・3 n-1=3 n. ………………………………………………………10分            记数列{3 n}的所有可能的乘积(1≤i≤j≤n)的和为S，则S=a1・a1+(a1+a2) ・a2+…+(a1+a2+…+an) ・an………………………………11分= 3・31+(3+32) ・32+…+(3+32+…+3n) ・3n…………………………………12分= = + = = ……………………………………………15分解法二：(Ⅰ)由f(n)= ，计算得：据此猜想n=3时,f(n)取到最小值．………………………………………2分以下用数学归纳法证明n≥5时,n2<2 n成立．(i)当n=5时，52<2 5，不等式成立．(ii)假设n=k(k≥5)时不等式成立，即k2>2 k那么2k+1=2 k ・2>k2 ・2 ,因为k≥5,所以2k2-(k+1)2=k2-2k-1=(k-1)2-2>0.所以2k+1>(k+1)2.即当n=k+1时，不等式也成立．根据(i)和(ii)所述，对于所有n≥5，n∈N *，n2<2 n都成立．结合上表可知猜想正确，即当n=3时f(n)取到最小值为f(3)=.………4分(Ⅱ)同解法一．(Ⅲ)同解法一，得an=3n.………………………………………………………10分           由ai・aj=3i・3j=3i+j  (1≤i≤j≤n)，列表如下：记数列{3n}的所有可能的乘积(1≤i≤j≤n)的和为S，将这个“上三角形”表绕“对角线”对称地填在“下三角形”中，得到正方形数表：记第一行的和为S1，那么2S一(32+34+36+…+32n)=S1(1+3+32+…+3n-1).所以2S =(3 n-1)(1+3+32+…+3 n-1)+(9 n -1),所以S =解法三：(Ⅰ)因为f(n)= ,设由，所以当时，<0，所以，在内单调递减；当时，>0，所以，在内单调递增．……2分所以f(n)= 的最小值只可能在n=2或n=3处取到，注意到f(2)=1,f(3)=,所以当n=3时,f(n)取到最小值为 f(3)=.        (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．解法四：(Ⅰ)同解法二，猜想n=3时, f(n)取到最小值．………………………………2分            证明如下：当n≥5时，因为n≥5时，n-2≥3，            所以≥=1.结合上表可知猜想正确，即当n=3时,f(n)取到最小值为f(3)= .(Ⅱ)(Ⅲ)同解法一．

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