题目

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC,D,E分别为BB1,AC1的中点.(1)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;(2)设AA1=AC=AB,求二面角A1—AD—C1的大小. 答案：（1）证明:如图,建立直角坐标系O—xyz,其中原点O为AC的中点 设A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c),则C(-a,0,0)、C1(-a,0,2c)、E(0,0,c)、D(0,b,c).=(0,b,0),=(0,0,2c).C·=0,∴ED⊥BB1又=(-2a,0,2c),·=0,∴ED⊥AC1.∴ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.（2）解:不妨设A(1,0,0),则B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),=(-1,-1,0)、=(-1,1,0)、=(0,0,2)·=0、·=0,即BC⊥AB,BC⊥AA1,又AB∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AD.又E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,0),=(-1,0,-1), =(-1,0,1),C=(0,1,0),·=0, ·=0,即EC⊥AE,EC⊥ED.又AE∩ED=E,∴EC⊥平面C1AD.cos〈,〉=,即得和的夹角为60°.∴二面角A1—AD—C1为60°.

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