题目

（本题满分12） 如图,在三棱锥S-ABC中，ΔABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=,M,N分别为AB,SB的中点。 （Ⅰ）求异面直线AC与SB所成角；   （Ⅱ）求二面角 N-CM-B的大小； （Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。 答案：解： （I）取AC 中点D，连结SD，DB。   因为SA=SC,AB=BC,所以AC⊥SD且AC⊥BD,所以AC⊥平面SDB. 又SB平面SDB,所以AC⊥SB.所以异面直线AC与SB所成角为90。…………4分 （II）因为AC⊥平面SDB，AC平面ABC, 所以平面SDC⊥平面ABC. 过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC, 过E作EF⊥CM于F，连结NF,则NF⊥CM, 所以∠NFE为二面角N-CM-B的平面角。 因为平面SAC⊥平面ABC, SD⊥AC,所以SD⊥平面ABC. 又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD。 由于SN=NB,所以NE=SD=,且ED=EB. 在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF=. 在Rt△NEF中，tan∠NFE= 所以二面角N-CM-B的大小是arctan.            ………………………………8分 （III）在Rt△NEF中,NF=,所以, . 设点B到平面CMN的距离为h, 因为,NE⊥平面CMB, 所以  则h= 即点B到平面CMN的距离为。             ………………………………12分

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