题目

求出同时满足下列条件的双曲线方程：（1）渐近线方程为x+2y=0和x-2y=0;（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离的最小值为. 答案：思路解析：根据已知双曲线的渐近线方程，常联系具有公共渐近线的双曲线方程.解：满足条件（1）的双曲线方程可设为x2-4y2=λ(λ≠0),∵P(x,y)在双曲线上,∴|AP|2=(x-5)2+y2=(x-5)2+=x2-10x+25-=(x-4)2+.①若λ＜0，则双曲线的焦点在y轴上，x∈R.∴当x=4时，|AP|min2==6.∴λ=-4,此时双曲线方程为y2-=1.②若λ＞0，则双曲线的焦点在x轴上，x≤-或x≥.当≤4时，则x=时，|AP|min2==6,得λ=-4不适合；当＞4时，则x=时，|AP|min2=(-4)2+=6,解得λ=(5+)2,双曲线方程为x2-4y2=(5+)2.综上，所求双曲线方程为y2-=1或x2-4y2=(5+)2.

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