题目

定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”． （1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由； （2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 答案：【考点】二次函数的性质． 【专题】综合题；函数思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可； （2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案． 【解答】解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解． 当f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R）时， 方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2， 所以f（x）为“局部奇函数”． （2）当f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0， 因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解． 令t=2x，t∈[，2]，则﹣2m=t+ 设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=， 当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数， 当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数． 所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]． 所以﹣m∈[2，]，即m∈[﹣，﹣1]． 【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力． 　

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