题目

已知函数，在上的最小值记为．(1)求；(2)证明：当时，恒有. 答案： [解析] (1)因为，所以， (i)当时，若，则，故在上是减函数；若，则，，故在上是增函数．所以. (ii)当时，有，则，，故在上是减函数，所以.综上， (2)证明：令．(i)当时， 若，则，得，则在上是增函数，所以在上的最大值是，而，所以，故. 若，则，得，则在上是减函数，所以在上的最大值是，令，则，知在上是增函数，所以，即.故. (ii)当时，，故，得，此时在上是减函数，因此在上的最大值是.故.综上，当时，恒有.

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