题目

如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G． （1）求证：△EFD为等腰三角形； （2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长． 答案：【解答】（1）证明：连接OD，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC， ∵OC⊥AB，∴∠COF=90°，∴∠OCD+∠CFO=90°， ∵GE为⊙O的切线，∴∠ODC+∠EDF=90°，∵∠EFD=∠CFO， ∴∠EFD=∠EDF，∴EF=ED． （2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1， ∵∠EFD=∠EDF，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，21·世纪*教育网 ∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，∴DE=4，OE=5， ∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°， 而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．

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