题目

如图，半径为的与边长为的正方形的边相切于E，点F为正方形的中心，直线过点．当正方形沿直线以每秒的速度向左运动__________秒时，与正方形重叠部分的面积为． 答案：1或． 【解析】 将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论． 【详解】 解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA，OB，AB交OF于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OAB-S△OAB 由题意可知：OA=OB=AB=2，OF⊥AB ∴△OAB为等边三角形 ∴∠AOB=60°，OE⊥AB 在Rt△AOE中，∠AOE=30°，∴AE=，OE= ∴S扇形OAB-S△OAB ∴OF= ∴点F向左运动个单位 所以此时运动时间为秒 ②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC，OD，CD交OF于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OCD-S△OCD 由题意可知：OC=OD=CD=2，OF⊥CD ∴△OCD为等边三角形 ∴∠COD=60°，OE⊥CD 在Rt△COE中，∠COE=30°，∴CE=，OE= ∴S扇形OCD-S△OCD ∴OF= ∴点F向左运动个单位 所以此时运动时间为秒 综上，当运动时间为1或秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为 故答案为：1或． 【点睛】 本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键．

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