题目

（01全国卷理）(14分)设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈[0，]都有f (x1＋x2) = f (x1) ・ f (x2)．且f (1) = a＞0．    (Ⅰ)求f () 及f ()；(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数；(Ⅲ)记an = f (2n＋)，求． 答案：解析：（Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，]，都有f (x1＋x2) = f (x1) ・ f (x2)，所以        f () ・ f ()≥0，x∈[0，1]．∵ f () = f () ・ f () = [f ()]2，        f ()f () = f () ・ f () = [f ()]2．                      ……3分，∴ f ()，f ()．                                      ……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称，故 f (x) = f (1＋1－x)，即f (x) = f (2－x)，x∈R．                                           ……8分又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R，∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R，将上式中－x以x代换，得f (x) = f (x＋2)，x∈R．这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．                  ……10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]．∵ f ()= f (n ・) = f (＋（n－1）・)     = f () ・ f (（n－1）・)     = f () ・ f () ・ … ・f ()     = [ f ()]n，     f () = ，∴ f () = ．∵ f (x)的一个周期是2，∴ f (2n＋) = f ()，因此an = ，                              ……12分∴ () = 0．                                   ……14分 

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