题目

如图，在△ABC中，AB=AC，D、A、E在直线m上，∠ADB=∠AEC=∠BAC． （1）求证：DE=DB+EC； （2）若∠BAC=120°，AF平分∠BAC，且AF=AB，连接FD、FE，请判断△DEF的形状，并写出证明过程． 答案：【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由∠ADB=∠AEC=∠BAC，于是得到∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°，推出∠ABD=∠EAC，证得△ABD≌△AEC，根据全等三角形的性质得到BD=AE，然后根据线段的和差即可得到结论； （2）由等边三角形的性质就可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，进而得出∠DFE=60°，就有△DEF为等边三角形． 【解答】（1）证明：∵∠ADB=∠AEC=∠BAC， ∴∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠ABD=∠EAC， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△AEC， ∴BD=AE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=DB+EC； （2）△DEF为等边三角形 理由：∵△ABF和△ACF均为等边三角形 ∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°， ∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°， ∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°， ∴∠DBA=∠CAE． 在△BAD和△ACE中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD=AE，∠DBA=∠CAE． ∵∠ABF=∠CAF=60°， ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE． 在△BDF和△AEF中， ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE， ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°， ∴△DEF为等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用．等边三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．

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