题目

已知函数y=f(x)满足a=(x2,y),b=(x,-1),且a·b=-1.如果存在正项数列{an}满足:a1=,f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an)-n=a13+a23+a33+…+an3-n2an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项;(2)求证:数列{an}的前n项和≤Sn＜1. 答案：答案：(1)解:∵a·b=-1,∴y=f(x)=x3-x+1(x≠0).∵f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an)-n=a13+a23+a33+…+an3-n2an(n∈N*),∴代入得a1+a2+a3+…+an=n2an.①又a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2an-1,②①-②得=.则an=···…·=(n∈N*). (2)证明:∵an=,∴Sn=a1+a2+a3+…+an=(1)+()+()+…+()=1.∵n≥1时,y=1是关于n的单调增函数,∴1≥.而1＜1显然成立,∴原式成立.

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