题目

如图，AB是⊙O的直径， =，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM． 答案：【考点】切线的性质；扇形面积的计算． 【专题】证明题． 【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可； （2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案． 【解答】（1）解：如图，连接OD， ∵CD是⊙O切线， ∴OD⊥CD， ∵OA=CD=2，OA=OD， ∴OD=CD=2， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π； （2）证明：如图，连接AD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB=∠ADM=90°， 又∵=， ∴ED=BD，∠MAD=∠BAD， 在△AMD和△ABD中， ， ∴△AMD≌△ABD， ∴DM=BD， ∴DE=DM． 【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．

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