题目

已知正项数列{an}满足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1． （1）求a2的值； （2）证明：对任意实数n∈N*，an≤2an+1； （3）记数列{an}的前n项和为Sn，证明：对任意n∈N*，2﹣≤Sn＜3． 答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用． 【分析】（1）由代入法，解方程可得a2，注意负值舍去； （2）由题意可得可得an2﹣4a2n+1+an﹣2an+1+4a2n+1=0，因式分解，即可得证； （3）运用（2）的结论，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证． 【解答】解：（1）an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1， 即有a12+a1=3a22+2a2=2， 解得a2=（负的舍去）； （2）证明：an2+an=3a2n+1+2an+1， 可得an2﹣4a2n+1+an﹣2an+1+4a2n+1=0， 即有（an﹣2an+1）（an+2an+1+1）+4a2n+1=0， 由于正项数列{an}， 即有an+2an+1+1＞0，4a2n+1＞0， 则有对任意实数n∈N*，an≤2an+1； （3）由（1）可得对任意实数n∈N*，an≤2an+1； 即为a1≤2a2，可得a2≥，a3≥a2≥， …，an≥， 前n项和为Sn=a1+a2+…+an≥1+++…+ ==2﹣， 又an2+an=3a2n+1+2an+1＞a2n+1+an+1， 即有（an﹣an+1）（an+an+1+1）＞0， 则an＞an+1，数列{an}递减， 即有Sn=a1+a2+…+an＜1+1+++…+ =1+=3（1﹣）＜3． 则有对任意n∈N*，2﹣≤Sn＜3． 【点评】本题考查数列的通项和求和间的关系，考查数列不等式的证明，同时考查等比数列的求和公式的运用，以及不等式的性质，属于中档题．

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