题目

已知椭圆C1：=1,抛物线C2：(y-m)2=2px(p＞0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(1)当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；(2)若p=且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程. 答案：解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称. 所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）.因为点A在抛物线上，所以=2p,即p=.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.（2）当C2的焦点在AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).由消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0                              ①设A、B的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根，x1+x2=.因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以|AB|=（2-x1）+(2-x2)=4-(x1+x2),且|AB|=（x1+）+(x2+)=x1+x2+p=x1+x2+.从而x1+x2+=4-(x1+x2).所以x1+x2=,即解得k2=6,即k=±.因为C2的焦点F′(,m)在直线y=k(x-1)上，所以m=-k,即m=或m=-.当m=时，直线AB的方程为y=-(x-1);当m=-时，直线AB的方程为y=(x-1).

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