题目

已知动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x=1的距离之比为2.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设点P的轨迹为曲线C,过点F作互相垂直的两条直线l1、l2,l1交曲线C于A、B两点，l2交曲线C于M、N两点.求证:+为定值. 答案：解:(1)设P(x,y),由题意,得=|x-1|.化简,得x2-y2=2.所以点P的轨迹方程为x2-y2=2. (2)当直线l1,l2之一与x轴垂直，不防设l1与x轴垂直，此时A(2,),B(2,-),M(-,0),N(,0),·=（0，）·（0，-）=-2，·=（--2，0）·（-2，0）=2，所以+=0. 当直线l1,l2都不与x轴垂直时，由题意设直线l1为y=k(x-2),k≠0,则l2的方程为y=(x-2),由得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0. 因为l1交双曲线C于A、B两点，所以解得k≠±1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=k(x1-2),y2=k(x2-2).因为=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(1+k2)［x1x2-2(x1+x2)+4］=(1+k2)(+4)=. 同理可求得·, 所以=()=0,即为定值0.

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