题目

已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0}，B={x|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围. 答案：思路解析一：由A∩B≠可知，方程x2-4ax+2a+6=0至少有一个负实根，即有两负根、一负根一零根、一负根一正根三种情况.解法一：∵A∩B≠，B={x|x＜0}，∴方程x2-4ax+2a+6=0至少有一负根.（1）当方程x2-4ax+2a+6=0有两个负根时，即解得-3＜a≤-1.（2）当方程x2-4ax+2a+6=0有一负根一零根时，解得a=-3.（3）当方程x2-4ax+2a+6=0有一负根一正根时，解得a＜-3.综上所述，所求实数a的取值范围为a≤-1.思路解析二：如果从反面考虑，先求出方程x2-4ax+2a+6=0有实根时a的取值范围（可看成全集），然后考虑方程x2-4ax+2a+6=0的两根均为非负实数时a的取值范围，则最后可利用补集求解.解法二：设全集U={a|Δ=（-4a）2-4（2a+6）≥0}={a|（a+1）（a-）≥0}={a|a≤-1或a≥}.若方程x2-4ax+2a+6=0的两根x1、x2均为非负数，则解得a≥.在全集U中，集合{a|a≥}的补集为{a|a≤-1}.∴所求实数a的取值范围是a≤-1.

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