题目

已知双曲线x2-=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点，（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦. 答案：（1）解：设过点P（1，2）的直线AB的方程为y-2=k（x-1）.代入双曲线方程并整理，得（2-k2）x2+（2k2-4k）x-（k2-4k+6）=0.设A（x1,y1），B（x2,y2），则x1+x2=.由已知=1，∴=2，解得k=1.又k=1时，Δ=（2k2-4k）2+4（2-k2）（k2-4k+6）=16＞0,∴直线AB的方程为x-y+1=0.（2）证明：设过Q（1，1）点的直线方程为y-1=k（x-1）.代入双曲线方程并整理，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-（k2-2k+3）=0.由题知=2,解得k=2.而当k=2时，Δ=［-2k（1-k）］2+4（2-k2）（k2-2k+3）=-8＜0.∴这样的直线不存在.

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