题目

设Sn,Tn分别为下列表格中的两个等差数列{an},{bn}的前n项和.n1234567…an531-1-3-5-7…bn-14-10-6-22610…(1)请求出S1，S2，S4，S5和T2，T3，T5，T6；(2)根据上述结果，对于存在正整数k满足ak+ak+1=0的等差数列{an}的前n项和Sn(n≤2k-1)的规律，猜想一个正确的结论，并加以证明. 答案：解：(1)数列{an}中，a1=5，公差d=-2.∴Sn=na1+d=5n+×(-2)=-n2+6n,∴S1=5,S2=8,S4=8,S5=5.                                                         数列{bn}中,b1=-14,d′=4.∴Tn=-14n+×4=2n2-16n,∴T2=-24,T3=-30,T5=-30,T6=-24.                                                  (2)若ak+ak+1=0,则Sk+n=Sk-n(或Sn=S2k-n)(n≤2k-1,k＞n).证明如下：∵{an}是等差数列，∴Sk-n-Sk+n=(k-n)a1+d-(k+n)a1=-2na1+［(k-n)2-k+n-(k+n)2+k+n］=-2na1+(k2-2kn+n2+n-k2-2kn-n2+n)=-2na1+(-4kn+2n)=-2na1+dn(1-2k).                                            又∵ak+ak+1=0,∴a1+(k-1)d+a1+kd=0,d=,∴Sk-n-Sk+n=-2na1+(1-2k)=0，即Sk-n=Sk+n.

查看本题答案和解析