题目

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c是以d为公差的等差数列,且a＞0,d＞0.设x0为f(x)的极小值点,在［1-,0］上,f′(x)在x1处取得最大值,在x2处取得最小值,将点(x0,f(x0)),(x1,f′(x1)),(x2,f′(x2))依次记为A,B,C.(1)求x0的值;(2)若△ABC有一边平行于x轴,且面积为2+,求a,d的值. 答案：思路分析:本题考查函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数列等基础知识的综合应用,还考查应用数形结合的数学思想分析问题,解决问题的能力.(1)解:∵2b=a+c,∴f′(x)=ax2+2bx+c=ax2+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).令f′(x)=0,得x=-1或x=.∵a＞0,d＞0,∴0＜a＜b＜c.∴＞1,＜-1.当＜x＜-1时,f′(x)＜0;当x＞-1时,f′(x)＞0.∴f(x)在x=-1处取得最小值,即x0=-1.(2)解法一:∵f′(x)=ax2+2bx+c(a＞0),∴f′(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=;由＞1,1--()=1＜0,故∈［1-,0］且|1--()|-||=1＞0.∴f′(x)在［1-,0］上的最大值为f′(0)=c,即x1=0.当x=时,f′(x)取得最小值为f′(),即x2=.f′(x)=ax2+2bx+c=ax2+2(a+d)x+(a+2d),f′()=f′()=.∵f(x0)=f(-1)=-a,∴A(-1,-a),B(0,c),C(,).由△ABC有一条边平行于x轴,知AC平行于x轴,∴-a=,即a2=3d2.①又由△ABC的面积为2+,得(-1+)·(c+)=2+.利用b=a+d,c=a+2d,得d+=2+.②联立①②可得d=3,a=.解法二:∵f′(x)=ax2+2bx+c(a＞0),∴f′(1-)=0,f′(0)=c.又c＞0,知f(x)在［1-,0］上的最大值为f′(0)=c,即x1=0.又由＞1,知∈［1-,0］,∴当x=时,f′(x)取得最小值为f′()=,即x2=.∵f(x0)=f(-1)=-a,∴A(-1,-a),B(0,c),C(,).由△ABC有一条边平行于x轴,知AC平行于x轴,∴-a=,即a2=3d2.①又由△ABC的面积为2+,得(-1+)·(c+)=2+.利用b=a+d,c=a+2d,得d+=2+.②联立①②可得d=3,a=.

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