题目

已知锐角α，β满足：sinβ=2cos(α+β)sinα，记y=tanβ，x=tanα，    (Ⅰ)求y关于x的函数解析式y=f(x)及定义域；    (Ⅱ)求(Ⅰ)中函数y=f(x)的最大值及此时α，β的值. 答案：答案：解：(Ⅰ)∵sinβ=2cos(α+β)sinα，∴sin[(α+β)-α]=2cos(α+β)sinα，即sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα  ①∵α，β都是锐角，∴0＜α+β＜π，sinβ＞sinα＞0，∴由sinβ=2cos(α+β)sinα知cos(α+β)＞0∴由①式，得tan(α+β)=3tanα，即=3tanα，即=3x∴y=(x＞0)，即所求函数的解析式为y=f(x)=，其定义域为(0，+∞)；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，y==，当且仅当3x=，即x=时，等号成立，此时tanα=，tanβ=，∴α=，β=，即函数y=f(x)的最大值为，此时，α=β=.

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