题目

     在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为(－6，0).如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上,点C在第二象限.现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG. （1）如图2，若α=60°,OE=OA，求直线EF的函数表达式. （2）若α为锐角，，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积. （3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由. 答案：（1）如图1，过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M. ∵OE＝OA，α＝60°，∴△AEO为正三角形，     ∴OH＝3，EH＝＝3.  ∴E(﹣3,3).     ∵∠AOM＝90°，∴∠EOM＝30°. 在Rt△EOM中， ∵cos∠EOM＝  ，即＝ ，∴OM＝4.    ∴M(0，4).     设直线EF的函数表达式为y＝kx＋4，      ∵该直线过点E(﹣3,3),   ∴,解得，      所以，直线EF的函数表达式为.       （2）如图2，射线OQ与OA的夹角为α( α为锐角，). 无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方 形OEFG的顶点E在射线OQ上， ∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小.       在Rt△AOE中，设AE＝a，则OE＝2a， ∴a2＋(2a)2＝62，解得a1＝，a2＝－(舍去), ∴OE＝2a＝, ∴S正方形OEFG＝OE2=.     （3）设正方形边长为m. 当点F落在y轴正半轴时. 如图3，当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有或. 在Rt△AOP中，∠APO＝45°，OP=OA=6, ∴点P1的坐标为(0,6).             在图3的基础上，当减小正方形边长时，点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为；当增加正方形边长时，存在（图4）和（图5）两种情况. 如图4，△EFP是等腰直角三角形，有＝，即＝,  此时有AP∥OF. 在Rt△AOE中，∠AOE＝45°，∴OE=OA＝6, ∴PE＝OE＝12，PA=PE+AE=18, ∴点P2的坐标为(－6,18). 如图5，过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H.设PF=n. 在Rt△POG中，PO2＝PG2＋OG2＝m2＋(m＋n) 2＝2m2＋2mn＋n2， 在Rt△PEF中，PE2＝PF2＋EF2＝m 2＋n 2, 当＝时，∴PO2＝2PE2.  ∴2m2＋2mn＋n2=2(m 2＋n 2), 得n＝2m. ∵EO∥PH，∴△AOE∽△AHP,∴, ∴AH=4OA=24，即OH=18，∴. 在等腰Rt△PR       H中，， ∴OR=RH-OH=18， ∴点P3的坐标为(－18,36). 当点F落在y轴负半轴时， 如图6，P与A重合时，在Rt△POG中，OP＝OG，     又∵正方形OGFE中，OG=OE,   ∴OP＝OE. ∴点P4的坐标为(－6,0). 在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中 两边之比不可能为；当正方形边长增加时，存在（图7）这一种情况. 如图7，过P作PR⊥x轴于点R,设PG=n. 在Rt△OPG中，PO2=PG2＋OG2＝n2＋m2， 在Rt△PEF中，PE2＝PF2＋FE2＝(m+n ) 2＋m2＝2m2＋2mn＋n 2. 当＝时，∴PE2＝2PO2.   ∴2m2＋2mn＋n 2＝2n2＋2m2  ∴n=2m, 由于NG=OG=m,则PN=NG=m, ∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP, ∴, 即AN=OA=6. 在等腰Rt△ONG中，,  ∴， ∴, 在等腰Rt△PRN中，， ∴点P5的坐标为(－18,6). 所以，△OEP的其中两边的比能为，点P的坐标是：P1(0,6)，P2(－6,18)， P3(－18,36)，P4(－6,0)，P5(－18,6).

查看本题答案和解析