题目

(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy； (2)设1<a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 答案：证明　　(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 所以[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)． 既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式，得 logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. 于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立．

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