题目

设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|． （1）求不等式f（x）＞1解集； （2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围． 答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集． （2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围． 【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离， 而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1， 故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}． （2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解， 即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|． 利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7， ∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8， m的范围为[﹣6，8]．

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